$4^{a}$ Avaliação LC21CP- 2017/2

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Nome:

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Introdução da conjunção:	$\dfrac{\phi\quad\psi}{\phi \land \psi} \land\mbox{i}$
Eliminação da conjunção:	$\dfrac{\phi \land \psi}{\phi} \land\mbox{e}_1,\quad \dfrac{\phi \land \psi}{\psi} \land\mbox{e}_2$
Introdução da dupla negação:	$\dfrac{\phi}{\neg\neg\phi} \neg\neg\mbox{i}$
Eliminação da dupla negação:	$\dfrac{\neg\neg\phi}{\phi} \neg\neg\mbox{e}$
Modus Ponens:	$\dfrac{\phi\to\psi\qquad \phi}{\psi}{MP}$
Introdução da disjunção:	$\dfrac{\phi}{\phi \lor \psi}\lor\mbox{i}$
Modus Tollens:	$\dfrac{\phi\to\psi\qquad \neg\psi}{\neg\phi}{MT}$
Eliminação da disjunção:	$\dfrac{\phi \lor \psi\quad (\phi\dots\chi)\quad (\psi\dots\chi)}{\chi} \lor\mbox{e}$
Introdução da contradição:	$\dfrac{\phi\quad \neg\phi}{\perp}\perp\mbox{i}$
Introdução da negação:	$\dfrac{(\phi\dots\perp)}{\neg \phi}\neg\mbox{i}$
Eliminação da contradição:	$\dfrac{\perp}{\phi}\perp\mbox{e}$

Questão 1 (4,0pts)

Demonstre ao menos 5 das 8 formas de argumento abaixo:

$$\neg p\land q, (\neg p \land q)\to (r\lor \neg p) \vdash r \lor \neg p$$ $$(p \land q) \to (r \land s), \neg\neg p, q \vdash s$$ $$(p\land q)\land r, s \land t \vdash q \land s$$ $$p, \neg\neg(q \land r) \vdash \neg\neg p \land r$$ $$p\to q, r\to s \vdash (p\lor r)\to (q\lor s)$$ $$p\to q, r \to s \vdash (p\land r) \to (q\land s)$$ $$(p\lor(q\to p))\land q \vdash p$$ $$p \to (q \lor r), \neg q, \neg r \vdash \neg p$$

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Questão 2 (3,0pts)

Utilize árvores de refutação para demonstrar se as fórmulas a seguir são tautologias.

$$(p \to (q \land r)) \to (p\to r)$$ $$(p\to (q \land p))\to (p \land q)$$ $$\neg((p\land q)\leftrightarrow(p\lor q))$$ $$(p\land q) \land \neg(p\lor r)$$

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Questão 3 (2,0pts)

Interpretando como

• $c$: “está chovendo”
• $R(x)$: “$x$ é uma rã”
• $V(x)$: “$x$ é verde”
• $S(x)$: “$x$ é saltitante”
• $I(x)$: “$x$ é iridescente”

Formalize as seguintes sentenças:

a. Todas as rãs são verdes

b. Nenhuma rã é verdes

c. Algumas rãs são verdes

d. Algumas rãs não são verdes

e. Toda coisa é uma rã.

f. Alguma coisa é uma rã.

g. Nem toda coisa é uma rã.

h. Nada é uma rã.

i. Existem rãs verdes

j. Qualquer coisa é uma rã verde.

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Questão 4 (1,0pts)

Reescreva as fórmulas abaixo utilizando outro quantificador. Ou seja, se a fórmula usa $\forall$, dê uma fórmula equivalente utilizando $\exists$ e vice-versa.

$$\neg \forall x \neg Fx\quad\mbox{equivale a }\quad\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$$ $$\exists x \neg Fx\quad\mbox{equivale a }\quad\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$$ $$\forall x \neg Fx\quad\mbox{equivale a }\quad\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$$ $$\neg \exists x \neg Fx\quad\mbox{equivale a }\quad\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$$