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Lógica proposicional informal
Avaliação de um argumento

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Vídeo Nerdologia sobre lógica, incompletude, Godel, Turing, Russel

Lógica proposicional informal

A lógica é o estudo de argumentos. (Nolt, John)
Um argumento é uma sequência de enunciados na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são premissas.
- “Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Portanto, Sócrates é mortal.”
As premissas e as conclusões são sempre proposições (enunciados)
Identifique as premissas e a conclusão:
- “Ele é leão, pois nasceu na primeira semana de agosto.”
- “Ele está respirando, portanto está vivo”
- “Não irei dormir. O filme ainda não acabou”

Proposições

A lógica proposicional recebe esse nome pois lida com proposições (sentenças declarativas).
Uma proposição é uma sentença que comunica um julgamento ou uma crença, uma suposição/afirmação
- O trem está atrasado
- Há táxis na estação
- Está chovendo
- Choveu hoje
- Hoje é quinta-feira
- A soma dos números 3 e 5 é igual a 8.
- Todo número natural par > 2 é a soma de dois números primos
  - (Conjectura de Goldbach, não se sabe se verdadeira ou falsa, mas obviamente é verdadeira ou falsa).
- Todos os marcianos gostam de salame.

Não-proposições

Nem todas as sentenças comunicam julgamentos, ou afirmam algo (não declarativas)
- Qual o seu nome?
- Feche a porta!
- Que a força esteja com você!

Como identificar sentenças declarativas

Uma sentença declarativa pode sempre ser rescrita da forma:
- “É verdade que…”
- Em outras palavras, uma sentença declarativa é sempre “verdadeira” ou “falsa”
- Quando não se pode atribuir valor “verdadeiro” ou “falso” a uma sentença ela não é declarativa.

Estruturas lógicas de uma frase

No estudo da lógica formal, não estamos interessados no significado das frases, mas apenas em suas estruturas lógicas:
- “Se o trem tivesse chegado, e não houvesse táxis na estação, então João se atrasaria para seu compromisso.”
- “Se estivesse chovendo e Joana não estivesse com seu guarda-chuva, então ela se molharia”
- As estruturas lógica desses dois argumentos são identicas:
  - Se p e não q, então r ( $p \land \neg q \rightarrow r$ )
Como reescrever uma sentença declarativa na linguagem da lógica proposicional?
1. Definir as afirmações atômicas, ou seja, aquelas que não podem ser decompostas
2. Definir as relações entre elas.
Considere que seja verdadeira a afirmação
- Todo número par > 2 é a soma de dois números primos.
- Se a é par, então existe b e c primos, tal que b + c = a
- Primeiro passo, separar em frases atômicas:
  - $p:$ “a é número par”
  - $q:$ “existe b e c primos tal que a = b + c”
- Segundo passo, declarar as relações entre $p$ e $q$ ( $p \rightarrow q$ )
“O composto ouro-argônio não é produzido na natureza pois é de difícil reação com qualquer outra coisa e o outro também forma poucos compostos”.

Argumentos complexos

“Todos os números racionais podem ser experessos como $\frac{a}{b}, a,b\in\mathbb{Z}$ . Contudo $\pi$ não pode ser expresso como $\frac{a}{b}$ . Portanto, $\pi$ não é um número racional. Evidentemente, $\pi$ é um número, logo existe ao menos um número não racional.”

Um argumento é dito complexo se ele é composto por conclusões intermediárias que posteriormente são utilizadas como premissas.
Uma conclusão intermediária também é chamada premissa não-básica.

Exercícios: identifique premissas e conclusões

página 2, 8, 11, (John Nolt, Lógica)

Avaliação de um argumento

Embora um argumento possa ter diversos objetivos, o seu principal propósito é demonstrar que uma conclusão é provável ou verdadeira.
Assim, há alguns argumentos que são melhores do que outros no cumprimento do mesmo papel.
Trataremos de quatro itens para avaliar um argumento:
1. Se todas as premissas são verdadeiras,
2. Se, dada a verdade das premissas, a conclusão é ao menos provável,
3. Se as premissas são relevantes para a conclusão
4. Se o argumento é indutivo, não havendo evidência substancial suposta.

Verdade das premissas

Se uma das premissas de um argumento for falsa, então não se pode estabelecer a veracidade de sua conclusão.

“Visto que todos os norte-americanos são, atualmente, individualistas, a história registrará, no final do século XX, que os Estados Unidos fracassaram como defensor da democracia”

p: “todos os norte-americanos são, atualmente, individualistas”
q: “os Estados Unidos fracassaram como defensor da democracia”
A premissa é falsa, portanto não se pode concluir $q$ .
Isso, no entanto, não significa que $q$ seja falsa. Significa apenas que o argumento não nos permite conclui-la.

“Billy quebrou a vidraça, eu o vi fazer isso”

p: “Eu vi Billy quebrar a vidraça”
q: “Billy quebrou a vidraça”.
A premissa pode ser falsa, portanto a conclusão deve esperar novas evidências para $p$ .

Estes exemplos mostram a necessidade de critérios suplementares para se avaliar argumentos, critérios para avaliar o grau em que as premissas sustentam a conclusão.

Validade e probabilidade indutiva

Os argumentos podem ser classificados em duas categorias:

Dedutivo: a conclusão deve ser verdadeira se suas premissas são verdadeiras,
- “Nenhum mortal pode parar o tempo. Você é mortal. Você não pode parar o tempo”
Indutivo: a conclusão é provável dadas as premissas
- “Frequentemente, quando chove fica nublado. Está chovendo. Está nublado.”

Relevância das premissas

Uma conclusão pode ser provável ainda que as premissas sejam irrelevantes para a conclusão.

“Eu detesto a ideia de um criador infinitamente poderoso. Deus não existe”.