Contato

  • Jean Paulo Martins (jeanmartins utfpr edu br)
  • Sala 105, Bloco S (UTFPR - Campus Pato Branco)

Conteúdo

A necessidade de uma linguagem mais rica

Até então desenvolvemos a lógica proposicional, examinando-a de três ângulos: sua teoria de demonstração (dedução natural), sua sintaxe (árvores das fórmulas) e sua semântica (tabelas-verdade). Toda essa discussão se inicou com frases declarativas, ou proposições, as quais sempre é possível atribuir um valor lógico. A linguagem da lógica proposicional, por outro lado, é limitada, e existem tipos de afirmações que nela não podem ser representadas satisfatoriamente.

Vejamos, por exemplo, a frase declarativa:

  • “Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor.”

É fácil perceber que esta sentença não faz uso de nenhum dos conectivos da lógica proposicional: não, e, ou, se… então. Deste modo, o máximo que poderíamos fazer, seria representá-la como uma proposição atômica $p$

  • $p$: “Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor.”

Obviamente, isto não nos traria nenhuma informação sobre a estrutura da frase.

No contexto dessas limitações, a lógica de predicados, ou lógica de segunda ordem, é proposta como forma de representar modificadores do tipo

  • existe,
  • todo,
  • entre e
  • apenas.

Predicados

Na frase acima, podemos identificar algumas propriedades

  • ser um estudante
  • ser um instrutor
  • ser mais jovem do que alguém

Gostaríamos de algum mecanismo por meio do qual pudéssemos representá-las, juntamente com suas relações lógicas e dependências.

Tomemos como exemplo ser um estudante, podemos definir que essa propriedade como um predicado $E(\cdot)$, o qual quando aplicado a algo nos diz que esse algo é um estudante.

  • $E($André$)$: nos diz que André é um estudante.

Seguindo a mesma idéia, podemos definir predicados para as demais propriedades

  • $I($Paulo$)$: Paulo é um instrutor.
  • $J($André, Paulo$)$: André é mais jovem do que Paulo.

Nestes exemplos, $E,I,J$ são chamados predicados.

pre·di·ca·do

  1. Atributo de um ser; característica, propriedade, qualidade.
  2. Qualidade considerada positiva ou desejável, como bondade, delicadeza, gentileza etc.; mérito, virtude: Encontrou uma pessoa com muitos predicados.
  3. GRAM Tudo aquilo que se diz do sujeito da frase: Pedro vendeu o carro (vendeu o carro, o predicado, representa aquilo que se declara a respeito de Pedro, o sujeito).
  4. LÓG Numa proposição ou num juízo, atributo de um sujeito, que pode ser afirmado ou negado. Símbolo P.

Variáveis

Os predicados acima nos permitem definir propriedades, as quais podem ser utilizadas para identificar estudantes, instrutores e a relação de juventude entre um estudante e um instrutor. No entanto, ainda não é viável representar todos estudantes

  • “Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor.”

Sem que para isso tenhamos que defini-los um a um.

  • $E($André$)$, $E($Pedro$)$, $E($Maria$)$, $E($Joana$)$, etc..

Claramente isto se torna inviável para qualquer número razoável de alunos, e portanto não é uma bom mecanismo para representar “Todo estudante…”

Para contornarmos esse problema, utilizaremos o conceito de variável. Uma variável $u,v,w,x,y,z,\dots$ nada mais é que um substituto para valores concretos. Utilizando $x,y$, poderíamos formalizar os predicados anteriores.

  • $E(x)$: $x$ é um estudante.
  • $I(x)$: $x$ é um instrutor.
  • $J(x,y)$: $x$ é mais jovem do que $y$.

Quantificadores

As váriaveis nos oferecem a formalização necessária, porém ainda não nos permite especificar que um predicado se aplica a todo ou algum. Para isso, utilizamos os quantificadores, os quais definem o escopo das variáveis.

  • $\forall$: “para todo”
  • $\exists$: “existe” ou “algum”

Os quantificadores em conjunto com variáveis nos permitem então definir afirmações sobre algo genérico

  • $\forall y$: “para todo $y$
  • $\exists z$: “existe $z$” ou “existe algum $z$”

Portanto, se quero dizer que todo $x$ é estudante, utilizo o quantificador $\forall$ em conjunto com o predicado e a variável $x$.

Retornando à frase original

  • “Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor.”

Podemos reescrevê-la, de forma a tornar mais óbvia as relações.

  • “Se $x$ é um estudante, então existe um instrutor $y$, tal que $x$ é mais jovem do que $y$.”

Devemos, no entanto, observar que a segunda frase se aplica a apenas um estudante $x$, como queremos generalizar a todos estudantes, utilizaremos o quantificador $\forall$

A parte interna dos parênteses é um condicional que se aplica a todo estudante, e portanto

O consequente deste condicional se refere ao trecho:

  • “existe um instrutor $y$, tal que $x$ é mais jovem do que $y$.”
  • “existe $y$, tal que $y$ é um instrutor e $x$ é mais jovem do que $y$.”

Que pode ser representado por:

Por fim, a estrutura da frase exemplo pode ser escrita de maneira simbólica da seguinte forma

A qual pode ser lida da seguinte forma:

  • “Para todo $x$, se $x$ é um estudante, então existe algum $y$ que é um instrutor tal que $x$ é mais novo do que $y$”

Exemplo

Considere os seguintes predicados:

  • $A(x)$: $x$ é uma ave
  • $V(x)$: $x$ pode voar

Represente simbolicamente a frase

  • “Nem todas as aves podem voar”

  • “Existem aves que não voam”

Símbolos funcionais

A lógica de predicados estende a lógica proposicional não só quanto aos quantificadores, mas também com o conceito de símbolo funcional. Um símbolo funcional nada mais é que uma função, a qual, dada uma variável, retorna alguma informação não ambígua sobre a variável em questão. Por exemplo, consideremos a sentenças

“Toda criança é mais jovem do que sua mãe”.

Ela pode ser representada simbolicamente utilizando os predicados:

  • $C(x)$: $x$ é uma criança
  • $M(x,y)$: $x$ é mãe de $y$
  • $J(x,y)$: $x$ é mais jovem que $y$

Não há nada errado com esta fórmula, no entanto ela poderia ser simplificada por meio do uso de um símbolo funcional que retornasse a mãe de $x$.

  • $m(x)$: retorna a mãe de $x$

Símbolos funcionais também podem ser binários, terciários e assim por diante:

  • $g(x,y)$: nota do aluno $x$ na disciplina $y$

No caso especial em que nenhuma variável é necessária o simbolo funcional representa uma constante.

  • $m$: é uma constante para indicar Márcia

Exemplo

Utilizando o predicado $M(x,y)$: $x$ é mãe de $y$, considere a simbolização da frase:

“André e Paulo têm a mesma avó materna”

  1. Reescreva de forma simbólica utilizando somente predicados.

  2. Reescreva de forma simbólica utilizando predicados e símbolos funcionais.

OBS: Utilize o símbolo de igualdade $=$ se necessário.

Exemplo

Considere a simbolização da frase:

“Todo filho de meu pai é meu irmão”

  1. Reescreva de forma simbólica utilizando somente predicados.

  2. Reescreva de forma simbólica utilizando predicados e símbolos funcionais.

Referências

Seção 2.1: Pg. 71, Logica - Huth & Ryan (PDF).