Lógica de predicados - Regras de dedução II
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- Jean Paulo Martins (jeanmartins utfpr edu br)
- Sala 105, Bloco S (UTFPR - Campus Pato Branco)
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Quantificador existencial
Assim como todos os demais operadores o quantificador existencial ($\exists$) também possui duas regras de inferência: introdução e eliminação.
Regra de introdução
A regra de introdução do quantificador existencial segue de forma intuitiva e direta a partir de sua definição. Suponhamos, por exemplo, o caso específico $F(a)\land G(a)$. Por si só, este exemplo já nos permite concluir a forma mais geral $\exists x (Fx \land Gx)$, nesta situação $a$ serviu como prova da existência de um determinado $x$ para o qual $Fx \land Gx$ fosse verdadeira.
Exemplo 1
Exemplo 2
Apesar da similaridade como exemplo anterior, a demonstração neste caso é um pouco mais complexa. Precisamos provar que é possível derivar a conclusão a partir de cada disjuncto, utilizando a regra de eliminação da disjunção.
Exemplo 4
Para provar a inexistência de um $Fa$, utilizamos a estratégia de redução ao absurdo.
Exemplo 5
Regra Eliminação
A eliminação do quantificador existencial segue raciocínio contrário. Da premissa que afirma a existência de algo, por exemplo, $\exists x (Fx \land Gx)$, sabemos que para algum $x$ a propriedade é verdadeira. No entanto, não sabemos qual elemento substituir no lugar de $x$, visto que pode ser o caso de nem todos possíveis elementos satisfazerem $(Fx \land Gx)$.
Por esse motivo, para eliminarmos um quantificador existencial, temos que o fazer por meio de uma hipótese, a qual irá supor que um determinado objetvo $a$ satisfaça a propriedade em questão.